ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(, (ba
<
).
9.
Если
)()(
x
f
x
g
≤
на , то
],[ ba
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxg )()(
.
10.
Если
M
x
f
m ≤≤ )(
на , то
],[ ba
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
.
4.5. Основные теоремы
Докажем 2 теоремы, устанавливающие связь между определенными и
неопределенными интегралами.
Теорема 1. Если функция
)(
x
f
непрерывна на , то является
первообразной для
),( ba
∫
x
a
dttf )(
)(
x
f
:
)()( xfdttf
dx
d
x
a
=
∫
. (6)
Доказательство. Согласно определению производной,
x
xxx
dx
xd
x
∆
−
∆
+
=
→∆
)()(
lim
)(
0
ϕ
ϕ
ϕ
.
Тогда (с учетом Свойства 6)
.
)(
lim
)()()(
lim
)()(
lim)(
00
0
x
dttf
x
dttfdttfdttf
x
dttfdttf
dttf
dx
d
xx
x
x
x
a
xx
x
x
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
∆
=
∆
−+
=
∆
−
=
∫∫∫∫
∫∫
∫
∆+
→∆
∆+
→∆
∆+
→∆
Применяя теорему о среднем к промежутку
],[
x
x
x
∆
+
, представим интеграл
в числителе в виде
xxfdttf
xx
x
∆=
∫
∆+
)()(
,
где
),(
x
x
x
x
∆+∈
и
x
x
→
при 0→
∆
x
.
Следовательно,
)(
)(
lim)(
0
xf
x
xxf
dttf
dx
d
x
x
a
=
∆
∆
=
→∆
∫
,
96
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
