ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.6. Методы интегрирования
4.6.1. Интегрирование заменой переменной
Теорема. Пусть функция
)(
x
f
является непрерывной на промежутке
относительно переменной x, которая в свою очередь является функцией
],[ ba
)(
t
x
ϕ
=
переменной t на промежутке ],[
β
α
и имеет на нем непрерывную
производную.
Если
a=)(
α
ϕ
и
b=)(
β
ϕ
, то
∫∫
′
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)())(()(
(9)
Доказательство. Используя формулу Ньютона–Лейбница, определение
первообразной и учитывая условия теоремы, получаем
.)())(()())(()())((
))(())(())(()()()(
∫∫∫
∫∫
′
==
′
=
=−=−=
β
α
β
α
β
α
β
α
ϕϕϕϕϕϕ
ϕαϕβϕ
dtttftdtftdtF
tdFFFaFbFdxxf
b
a
Пример 1. Вычислить
dx
x
x
e
∫
1
ln
.
Решение. Сделаем подстановку
t
x
=
ln . Тогда
⎩
⎨
⎧
=
=
ex
x 1
⇒
⎩
⎨
⎧
==
=
=
.1ln
01ln
et
t
Замена переменной изменяет заданный интервал интегрирования ] на
интервал ]. Таким образом,
,1[ e
1,0[
2
1
2
1ln
1
0
2
1
01
===
∫∫
ttdtdx
x
x
e
.
Заметим, что нет необходимости возвращаться к исходной переменной x.
Пример 2. Вычислить .
dxex
x
∫
3
2
2
3
Решение. Подставляя
3
x
t
= , получаем dx
x
d
t
2
3
=
.
Найдем пределы интегрирования по переменной t:
⎩
⎨
⎧
=
=
3
2
x
x
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
==
.273
82
3
3
t
t
Тогда
)1(
3
1
)(
3
1
3
1
3
1
198827
27
8
27
8
3
2
2
3
−=−===
∫∫
eeeeedtedxex
ttx
.
98
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
