Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1. Найти площадь области, заключенной между линиями
x
y 3
=
и
2
xy = .
Решение. Абсциссы точек пересечения заданных линий
являются пределами интегрирования и представляют
собой решения уравнения
2
3
x
x
=
:
0
1
=
x
и .
3
2
=x
Используя формулу, приведенную на Рис. 8, получаем
2
9
9
2
27
)
32
3
()3(
3
0
32
3
0
2
=−=−=−=
∫
xx
dxxxS
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
ϕ
cos1+=
r
.
Решение.
.
2
3
)2sin
2
1
sin
4
3
(
))2cos1(
2
1
cos21(
2
1
)coscos21(
2
1
)cos1(
2
1
2
1
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
πϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
π
π
π
ππ
=++=
+++=
++=
+==
∫
∫
∫∫
d
d
ddrS
Рис. 11
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью 0x и одной аркой
циклоиды
⎩
⎨
⎧
−=
−
=
).cos1(3
),sin(3
ty
ttx
Решение. Фигура схематически показана
на Рис. 12. Ее площадь вычисляется по
формуле
. Представим этот
интеграл в терминах переменной t.
∫
=
π
6
0
ydxS
Рис. 12
Учитывая, что
0)0( =
x
,
π
π
6)2(
=
x
и
dt
t
t
t
ddx )cos1()sin(
−
=
−
=
, получаем
π
ππ
27)coscos21(9)cos1(9
2
0
2
2
0
2
=+−=−=
∫∫
dtttdttS
.
103

Страницы