ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 4. Найти площадь круга радиуса R.
Решение. Уравнение окружности
принимает наиболее простой вид при переходе к
полярной системе координат:
22
R=
2
yx +
R
r
=
.
Тогда
2
2
0
2
2
1
RdR
πϕϕ
π
==
∫
2
0
2
2
1
drS
π
=
∫
.
Рис. 12
Пример 5. Найти площадь эллипса с полуосями a и b.
Решение
. Очевидно, что .
∫
−
=
a
a
ydxS 2
Представим уравнение эллипса в
параметрическом виде:
⎩
⎨
⎧
=
=
.sin
,cos
tby
tax
Рис. 13
Найдем пределы интегрирования: a
x
−
=
при
π
=
t
, a
x
= при 0
=
t
.
Учитывая, что d
t
t
adx sin−−
=
и меняя местами пределы интегрирования,
вычисляем площадь:
.)2sin
2
1
()2cos1(sin22
0
00
2
abttabdttabdttabydxS
a
a
π
π
ππ
=−=−===
∫∫∫
−
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой
и осью ординат.
2
23 yyx −+=
Решение. Поскольку переменные x и y поменялись ролями, то площадь
вычисляется по формуле
, где
∫
=
2
1
)(
y
y
dyyxS
1
1
−
=
y
и
3
2
=
y
– точки пересечения параболы с
осью ординат:
.
3
32
)
3
1
)
3
1
3
2
=
−
y
dyy
3(
23(
2
3
1
−+=
−+=
−
∫
yy
yS
Рис. 14
104
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
