ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Затем поделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель и представим
результат в следующем виде:
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dL
222
)()()( ++=
⇒ dtzyxdL
222
)()()(
′
+
′
+
′
= ,
где
и – производные функций
yx
′′
,
z
′
)(
t
x
,
)(
t
y
и
)(
t
z
по переменной
t
.
Следовательно,
dtzyxL
t
t
∫
′
+
′
+
′
=
2
1
222
)()()(
. (12)
Полученная формула включает в себя формулу (11) как частный случай.
Действительно, если кривая лежит в плоскости x0y, то рассматривая
переменную
x
в качестве параметра
t
, мы имеем
x
x
=
,
)(
x
yy =
и 0
=
z ,
что возвращает нас от формулы (12) к (11).
Проблема 3. Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается
уравнением
)(
ϕ
r
r
=
в полярных координатах. Найти длину дуги кривой,
заключенной между значениями
1
ϕ
и
2
ϕ
полярного угла.
Решение. По теореме Пифагора
22
)()( dydxdL += .
Запишем это выражение в виде
ϕ
ϕϕ
d
d
dy
d
dx
dL
22
)()( +=
.
Выразим декартовые координаты x и y через полярные координаты
r
и
ϕ
:
ϕ
ϕ
cos)(
r
x
=
,
ϕ
ϕ
sin)(
r
y
=
.
Продифференцируем эти выражения по переменной
ϕ
:
ϕϕϕϕ
ϕ
sincos)cos)(( rrr
d
dx
−
′
=
′
=
,
ϕϕϕϕ
ϕ
cossin)sin)(( rrr
d
dy
+
′
=
′
=
.
Нетрудно показать, что
2222
)()()( rr
d
dy
d
dx
+
′
=+
ϕϕ
.
Следовательно,
ϕ
ϕ
ϕ
drrL
∫
+
′
=
2
1
22
)(
. (13)
106
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
