ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.8.3. Вычисление объемов тел
Рассмотрим задачу о нахождении объема тела по известному
поперечному сечению
)(
x
S
плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс.
Разобьем тело на тонкие слои. Каждый слой представляет собой цилиндр, а
его объем можно вычислить по формуле
dx
x
SdV )(
=
, где – толщина
слоя (т.е. высота цилиндра) (см. Рис. 16). Объем всего тела, заключенного
между абсциссами
a и , равен сумме образующих его объемов.
dx
b
Рис. 16
Следовательно,
∫
=
b
a
dxxSV )(
(14)
Если тело образовано вращением дуги кривой
)(
x
f
y
=
(заданной на
интервале
) вокруг оси 0x, то площадь поперечного сечения тела
плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс, представляет собой круг
радиуса
],[ ba
)(
x
f
y =
. Тогда и, таким образом,
2
)( yxS
π
=
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxyV
22
))((
ππ
. (15)
Пример 1. Найти объем сферы радиуса R .
Решение.
)()(
222
xRrxS −==
ππ
⇒
.
3
4
)
3
(
)(
3
3
2
22
R
x
xR
dxxRV
R
R
R
R
ππ
π
=−=
−=
−
−
∫
Рис. 17
Пример 2. Найти объем параболоида вращения высотой H.
22
zyx +=
Решение.
2
00
2
2
1
HxdxdxyV
HH
πππ
===
∫∫
.
108
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
