ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5.1. Основные понятия
К несобственным интегралам относятся:
1) интегралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен
бесконечности;
2) интегралы от неограниченных функций (на промежутке
интегрирования).
Примеры несобственных интегралов:
∫
+∞
a
dxxf )(
, , ,
∫
∞−
b
dxxf )(
∫
+∞
∞−
dxxf )(
∫
1
0
x
dx
,
∫
−
2
1
2 x
dx
,
∫
−
5
2
2
)3(x
dx
.
Несобственные интегралы можно выразить через обычные определенные
интегралы, используя предельный переход. В частности,
∫∫
+∞→
+∞
=
c
a
c
a
dxxfdxxf )(lim)(
, (1)
∫∫
−∞→
∞−
=
b
c
c
b
dxxfdxxf )(lim)(
. (2)
Аналогичным образом можно выразить интегралы от неограниченных
функций. Пусть, например,
∞
→)(
x
f
при
a
x
→
. Тогда
∫∫
→
=
b
c
ac
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
. (3)
Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует
конечный предел соответствующего определенного интеграла. В противном
случае говорят, что несобственный интеграл расходится.
Примеры сходящихся интегралов:
•
1)
1
1(lim)
1
(limlim
1
1
2
1
2
=−=−==
∞→∞→∞→
∞
∫∫
cx
x
dx
x
dx
c
c
c
c
c
.
•
5
1
)1(lim
5
1
)
5
1
(limlim
5
0
5
0
5
0
5
=−=−==
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
+∞
−
∫∫
c
c
c
x
c
c
x
c
x
eedxedxe
.
•
22
1
0
1
0
==
∫
x
x
dx
.
Примеры расходящихся интегралов:
•
∞====
∞→∞→∞→
∞
∫∫
||lnlim||lnlimlim
1
11
cc
x
dx
x
dx
c
c
c
c
c
.
•
cxxdxxdx
c
c
c
c
c
sinlimsinlimcoslimcos
0
00
∞→∞→∞→
∞
===
∫∫
– не существует.
110
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
