ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Признак сравнения остается в силе, если источником “несобственности”
интеграла является точка
a. Единственное, что нужно сделать в этом случае
это заменить в формулировке точку
b на точку a.
С геометрической точки зрения сходимость интеграла вида
означает, что площадь области, заключенной между кривой
∫
+∞
a
dxxf )(
)(
x
f
y =
и осью
абсцисс, конечна. При этом поведение функции
)(
x
f
y
=
при не очень
больших значениях
x является несущественным, а определяющее значение
для сходимости интеграла имеет лишь быстрота приближения кривой к оси
x
0 при
∞→
x
.
Рис. 1
С этих позиций Признак сравнения 2 выглядит вполне очевидным.
Действительно, если
λ
=
→
)(
)(
lim
xg
xf
bx
, где
λ
– конечное число, то (начиная с
некоторого достаточно большого значения
x) выполняется приближенное
равенство )()(
x
g
x
f
λ
≈ . Тогда и площади соответствующих областей
отличаются друг от друга в конечное число раз
λ
; если одна из них конечна,
то конечна и другая.
Обсудим теперь случаи, когда
)(
)(
lim
xg
xf
bx→
равен нулю или бесконечности.
Если
0
)(
)(
lim =
→
xg
xf
bx
, то из сходимости эталонного интеграла следует
сходимость исследуемого интеграла . Заметим, что обратное
утверждение уже не справедливо – сходимость интеграла от
∫
∞
a
dxxg )(
∫
∞
a
dxxf )(
)(
x
f
не влечет
за собой никаких последствий относительно интеграла от
)(
x
g
.
112
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
