ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5.2. Признаки сходимости
Существуют различные способы исследования несобственных интегралов
на сходимость, к простейшим из которых относятся признаки сравнения.
Признак сравнения 1
Пусть
)()(0
x
g
x
f
≤
≤
для всех
),( ba
x
∈
. Тогда
сходимость интеграла влечет сходимость интеграла .
∫
b
a
dxxg )(
∫
b
a
dxxf )(
Если интеграл расходится, то расходится и интеграл .
∫
b
a
dxxf )(
∫
b
a
dxxg )(
Здесь и – любые числа (не обязательно конечные); функция a b
)(
x
f
может быть неограниченной в окрестности любой из точек, a или . b
На практике применение этого признака сводится к простой
процедуре: исследуемый на сходимость интеграл сравнивается с одним из
эталонных. Если эталонный интеграл больше исследуемого и сходится, то
сходится и исследуемый. Если же эталонный интеграл меньше
исследуемого и расходится, то расходится
и исследуемый.
Необходимым условием сходимости интегралов вида
является
стремление к нулю функции
∫
∞
a
dxxf )(
)(
x
f
при
∞
→
x
. В противном случае интеграл
расходится. Однако это условие не является достаточным для сходимости
интеграла. Например,
0
1
lim =
∞→
x
x
, тогда как интеграл
∫
∞
1
x
dx
расходится.
Существует другой признак сравнения, в основе которого лежит
сопоставление быстроты изменения функций в окрестности
соответствующей точки (в том числе и бесконечно удаленной).
Признак сравнения 2
Пусть выполняется одно из условий – или функции
)(
x
f
и
)(
x
g
являются неограниченными в окрестности точки b, или . ∞=b
Если
∞<<
→
)(
)(
lim0
xg
xf
bx
, то интегралы
∫
b
a
dxxf )(
и
∫
b
a
dxxg )(
сходятся или расходятся одновременно.
111
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
