ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5.2.1. Эталонные интегралы
При исследования на сходимость несобственных интегралов вида
важное значение имеют (в качестве эталонных) p-интегралы
∫
∞
a
dxxf )(
∫
∞
a
p
x
dx
,
для которых справедливо следующее утверждение:
⎩
⎨
⎧
≤
>
∫
∞
1 если ,расходится
1 если сходится,
p
p
x
dx
a
p
(4)
Для доказательства выполним непосредственное интегрирование.
Пусть
. Тогда
1≠p
⎩
⎨
⎧
>+−
<+−
⇒
+−
=
∞
+−
∞
∫
. 0)1(если ,расходится
,0)1( если сходится,
1
1
p
p
p
x
x
dx
a
p
a
p
Если
, то
1=p
∞=
∞
=
∫
∞
||ln
ax
dx
a
.
Аналогичную роль играют
p-интегралы
∫
−
b
a
p
ax
dx
)(
и
∫
−
b
a
p
xb
dx
)(
при
исследования на сходимость интегралов от неограниченных функций (в
окрестности точки
a или точки b, соответственно).
В этом случае интегралы
∫
−
b
a
p
ax
dx
)(
и
∫
−
b
a
p
xb
dx
)(
(5)
⎩
⎨
⎧
≥
<
.1 если ,расходятся
,1 если сходятся,
p
p
Докажем это утверждение непосредственным интегрированием.
Рассмотрим, например, первый интеграл.
Пусть
. Тогда
1≠p
⎩
⎨
⎧
<+−
>+−
⇒
+−
−
=
−
+−
∫
. 0)1(если ,расходится
,0)1( если сходится,
1
)(
)(
1
p
p
p
ax
ax
dx
b
a
p
b
a
p
Если показатель степени
0)1(
<
+
−
p
, то
1
1
)(
1
)(
−
+−
−
=−
p
p
ax
ax
и при
подстановке нижнего предела интегрирования в знаменателе возникает 0.
Это и означает, что при
интеграл расходится.
1>p
Интеграл также расходится при
1
=
p
, поскольку
∞=
−
∫
b
a
ax
dx
.
114
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
