ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5.3. Примеры исследования интегралов на сходимость
Пример 1. Интеграл
∫
∞
1
2
x
dx
сходится, поскольку результат интегрирования
1
1
1
1
2
=−=
∞
+∞
∫
x
x
dx
является конечным числом.
Пример 2
. Интеграл
∫
+∞
1
ln
x
xdx
расходится, поскольку расходится интеграл
∫
+∞
1
x
dx
и
x
x
x 1ln
>
при
+∞→
x
.
Пример 3. Исследовать на сходимость
∫
+∞
1
3
ln
x
xdx
.
Решение. Сравним данный интеграл со сходящимся интегралом
∫
+∞
1
2
x
dx
.
Применим Признак сравнения 2:
0
1
lim
ln
lim
1
ln
lim
2
3
===
+∞→+∞→+∞→
xx
x
x
xx
xxx
.
Предел легко вычисляется по правилу Лопиталя и равняется нулю.
Следовательно, данный интеграл сходится.
Пример 4. Исследовать на сходимость
∫
+∞
+
1
4
52
dx
x
x
.
Решение. Выполним простые преобразования, чтобы сравнить данный
интеграл с
-интегралом:
p
∫∫∫
+∞+∞+∞
=<
+
1
27
1
4
1
4
2
1
252 x
dx
dx
x
x
dx
x
x
.
Поскольку
, то интеграл сходится.
1>p
Пример 4. Исследовать на сходимость
∫
−
5
2
2
)4(xx
dx
.
Решение. Функция
)4(
1
2
−xx
является неограниченной в окрестности
точки 2=
x
. Поэтому для сравнения выберем расходящийся
p
-интеграл
∫
−
5
2
2x
dx
.
115
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
