Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Найдем предел отношения подынтегральных функций:
8
1
)2(
1
lim
)4(
2
lim
2
2
2
=
+
=
−
−
→→
xx
xx
x
xx
.
Предел не равен нулю. Следовательно, данный интеграл расходится.
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл
∫
+∞
−
2
2
1x
dx
.
Решение.
.3ln
2
1
3
1
ln
2
1
1
1
lnlim
2
1
1
1
lnlim
2
1
)
11
(lim
2
1
)
1
1
1
1
(lim
2
1
)
1
1
1
1
(
2
1
1
2
222
22
2
=−
+
−
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+∞+∞
∫∫∫
∫∫
b
b
x
x
x
dx
x
dx
dx
xx
dx
xx
x
dx
b
b
b
bb
b
b
b
Комментарии. Заметим, что
∫
+∞
+
−
−
2
)
1
1
1
1
( dx
xx
нельзя представить в виде
разности двух расходящихся интегралов
∫
+∞
−
2
1x
dx
и
∫
+∞
+
2
1x
dx
– именно по
причине их расходимости. В таких случаях бесконечный предел нужно
заменить параметром, сводя тем самым проблему вычисления
несобственного интеграла к стандартной проблеме вычисления
определенного интеграла. На заключительной стадии нужно выполнить
предельный переход, устремив параметр к бесконечности.
Пример 6. Вычислить несобственный интеграл .
∫
+∞
0
dxe
kx
Решение. Очевидно, что при 0
=
k
интеграл расходится. Если же 0≠
k
, то
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>∞
<
==
∞+
∞+
∫
0если,
0если,
1
1
0
0
k
k
k
e
k
dxe
kxkx
Таким образом, интеграл расходится при 0≥
k
.
Пример 7. Исследовать на сходимость .
∫
∞
−
0
2
dxe
x
Решение. При больших значениях x выполняется неравенство .
xx
ee
−−
<
2
Поскольку интеграл
сходится, то сходится и интеграл .
∫
∞
−
0
dxe
x
∫
∞
−
0
2
dxe
x
116

Страницы