Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1. Найти длину дуги кривой
x
y ln
=
, содержащейся между
3=x
и
15=x
.
Решение. Очевидно, что
x
x
1
)(ln =
′
. В соответствии с формулой (11)
.
5
9
ln
2
1
2)
1
1
ln
2
1
()
1
1
1(
1
)1(
1)1(
1
2
11
11
1
4
2
4
2
2
4
2
2
2
22
15
3
2
2
2
15
3
2
2
15
3
2
15
3
2
1
+=
+
−
+=
−
+=
−
=
+
−+
+
=
+
=
+
=+=
∫∫
∫∫
∫∫
=+
z
z
zdz
z
dz
z
z
xd
x
x
xdx
x
x
dx
x
x
dx
x
L
zx
.
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды
⎩
⎨
⎧
−=
−
=
).cos1(3
),sin(3
ty
ttx
Решение. Заметим, что концам первой арки соответствуют значения
0
1
=
t
и
π
2
2
=t
параметра t. Кроме того, )cos1(3 tx
−
=
′
и ty sin3
=
′
.
Тогда по формуле (12)
.24
2
cos12
2
sin6cos223
sin)cos1(3
2
0
2
0
2
0
2
0
22
=−==−=
+−=
∫∫
∫
π
ππ
π
t
dt
t
dtt
dtttL
Пример 3. Найти длину первого витка спирали Архимеда
ϕ
=
.
Решение. Концам первого витка соответствуют значения
0
1
=
ϕ
и
π
ϕ
2
2
=
полярного угла
ϕ
. Тогда по формуле (13)
∫
+=
π
ϕϕ
2
0
2
1 dL
.
Интегрируем по частям, положив
2
1
ϕ
+=u и
ϕ
ddv
=
. Отсюда следует,
что
ϕ
ϕ
ϕ
ddu
2
1+
= и
ϕ
=v
. Таким образом,
).412ln(412)1ln(412
1
1
1412
1
1
22
2
0
22
2
0
2
2
0
22
2
0
2
2
2
0
2
ππππϕϕππ
ϕ
ϕ
ϕϕππϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
π
πππ
π
+++−+=+++−+=
+
++−+=
+
−+=
∫∫∫
LL
dddL
Следовательно,
)412ln(
2
1
41
22
ππππ
++++=L
.
107

Страницы