ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.8.2. Вычисление длины дуги кривой
Проблема 1. Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается
уравнением
)(
x
f
y =
. Найти длину дуги кривой, заключенной между
точками с абсциссами a и b.
Решение. Разобьем данную дугу на элементы, каждый из которых
аппроксимируем прямолинейным участком (см. Рис. 15).
Рис. 15.
Длину бесконечно малого участка можно выразить через его координаты
и
dy
с помощью теоремы Пифагора и представить в виде
dL
dx
dxydx
dx
dy
dydxdL
2222
)(1)(1)()(
′
+=+=+=
,
где
– производная функции y
′
)(
x
f
y
=
по переменной
x
.
Длина всей дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:
∫
′
+=
b
a
dxyL
2
)(1
. (11)
Проблема 2. Пусть пространственная кривая задана уравнениями в
параметрическом виде:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
).(
),(
),(
tzz
tyy
txx
Найти длину дуги кривой, заключенной между точками, которым
соответствуют значения
и параметра t.
1
t
2
t
Решение. Длина пространственного отрезка описывается формулой
222
)()()( dzdydxdL ++= .
Преобразуем это выражение, умножив и поделив его на d
t
:
dt
dt
dzdydx
dL
2
222
)(
)()()( ++
= .
105
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
