Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23
Частные производные обладают теми же свойствами, что и обычные
производные. Все правила дифференцирования так же остаются
неизменными. Следует только иметь в виду, что при вычислении частной
производной по какой либо из переменных все остальные переменные
фиксируются и рассматриваются как константы.
Пример. Найти частные производные функции
),( y
x
f
по переменным
x
и
y
, если
y
exyxyxf −+= sin5),(
32
.
Решение.
xxyf
x
cos52
3
+=
′
,
y
eyxf
y
y
2
1
3
22
−=
′
.
Частные производные высших порядков вводятся таким же образом, что и
обычные производные высших порядков:
)(
2
2
x
f
x
x
f
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
,
)(
2
2
y
f
y
y
f
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
,
)(
2
x
f
yyx
f
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
,
)(
2
y
f
xxy
f
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
.
Другие обозначения частных производных высших порядков:
2
2
2
x
f
x
f
′′
=
∂
∂
,
2
2
2
y
f
y
f
′′
=
∂
∂
,
xy
f
yx
f
′′
=
∂∂
∂
2
,
yx
f
xy
f
′′
=
∂∂
∂
2
,
3
3
3
x
f
x
f
′′′
=
∂
∂
,
2
2
3
xy
f
yx
f
′′′
=
∂∂
∂
,
xyx
f
xyx
f
′′′
=
∂∂∂
∂
3
и т.д.
Частные производные типа
xy
f
′
′
,
yx
f
′
′
,
2
xy
f
′
′
′
и т.д. называются смешанными
производными
.
Существует теорема, согласно которой
смешанные производные не
зависят от порядка дифференцирования
при условии, что частные
производные являются непрерывными функциями. В дальнейшем, если не
оговорено противное, мы будем иметь дело с функциями,
удовлетворяющими этому условию. В этом случае нет необходимости
следить за порядком дифференцирования:
yxxy
uu
′
′
=
′
′
,
22
yx
xyx
yx
uuu
′
′
′
=
′
′
′
=
′
′′
и т.д.

Страницы