Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Отметим, что можно доказать и более сильное утверждение: равенство (13)
является не только необходимым, но и достаточным условием того, что
выражение
dyy
x
Bdxy
x
A
),(),( +
представляет собой полный дифференциал
некоторой функции.
2.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть x и y – независимые переменные. Введем следующие
обозначения:
22
)(dxdx = , , … , , .
22
)(dydy =
nn
dxdx )(=
nn
dydy )(=
Вторым дифференциалом функции называется дифференциал первого
дифференциала; третьим дифференциалом – дифференциал второго
дифференциала, и т.д.:
)(
2
dudud = , , …, . )(
23
uddud = )(
1
uddud
nn −
=
Если
),( y
x
f
u =
, то
2
2
22
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
)()(
)()()(
dy
y
u
dxdy
yx
u
dx
x
u
dy
y
u
dxdy
yx
u
dydx
xy
u
dx
x
u
dy
y
u
ddx
x
u
ddy
y
u
dx
x
u
dud
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
(14)
(При выводе этой формулы было использовано равенство смешанных
производных).
Равенство (14) имеет ту же структуру, что и формула для квадрата суммы.
Это не случайно – формула для третьего дифференциала по структуре
совпадает с формулой для куба суммы и т.д. Существует простой – чисто
формальный – способ получения
n-го дифференциала функции, идею
которого мы продемонстрируем на примере функции двух переменных.
Преобразуем формулу (14), выполнив формальные действия:
u
y
dy
x
dx
u
y
dy
yx
dxdy
x
dx
y
u
dy
yx
u
dxdy
x
u
dxud
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
)(
))(2)((
)(2)(
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
Сами по себе выражения
x
∂
∂
и
x
∂
∂
лишены смысла – как, например, sin без
аргумента. Они представляют собой некие операторы, то есть команды. Как
25

Страницы