Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1. Пусть
),,(
t
y
x
f
u =
, где
)(
t
x
x
=
и
)(
t
yy
=
.
Тогда
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
. (18)
Пример 2. Найти
d
t
du
, если , где
35
yeu
x
=
t
x
sin
=
и .
2
ty =
Решение.
5sin56sin52535
6cos523cos5 tettetyeyte
d
t
du
ttxx
+⋅=+⋅=
.
Пусть теперь аргументы дифференцируемой функции
являются дифференцируемыми функциями двух переменных
и
),...,,(
21 n
xxxfu =
p
t
:
),(
11
tpxx =
,
),(
22
tpxx
, …, .
),( tpxx
nn
=
Тогда частные производные функции
u вычисляется по формулам
p
x
x
u
p
x
x
u
p
x
x
u
p
x
x
u
p
u
n
n
n
k
k
k
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
...
2
2
1
1
1
,
t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u
n
n
n
k
k
k
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
...
2
2
1
1
1
.
2.8. Дифференцирование неявных функций
1) Пусть функция
)(
x
yy =
задана в неявном виде:
0),(
=
y
x
F
. (19)
Вычислим полный дифференциал от обеих частей этого равенства:
0=
∂
∂
+
∂
∂
≡ dy
y
F
dx
x
F
dF
⇒
0=
∂
∂
+
∂
∂
dx
dy
y
F
x
F
Выразим производную функции
по переменной
y
x
через частные
производные функции
),( y
x
F
:
y
x
F
F
dx
dy
′
′
−=
. (20)
2)
Пусть функция
),( y
x
zz =
двух переменных задана в неявном виде:
0),,(
=
zy
x
F
.
Очевидно, что 0
=
d
F
. Учитывая определение дифференциала, мы получаем
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
. (21)
27

Страницы