Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26
только справа от
x
∂
∂
окажется функция u, то оператор
x
∂
∂
превратит ее в
производную
x
u
∂
∂
.
Аналогично выглядит n-ый дифференциал функции:
u
y
dy
x
dxud
nn
)(
∂
∂
+
∂
∂
=
. (15)
Чтобы перейти от символической записи (15) к стандартной, нужно:
•
сначала возвести выражение в скобках в n-ую степень;
•
затем раскрыть скобки и вернуть символ на положенное место –
справа от операторов;
u
•
все показатели степени интерпретировать как порядки производных и
дифференциалов.
Пример. Найти третий дифференциал функции двух переменных.
Решение.
Первый шаг:
u
y
dy
x
dxud
33
)(
∂
∂
+
∂
∂
=
.
Второй шаг:
u
y
dy
yx
dydx
yx
dydx
x
dxud )33(
3
3
3
2
3
2
2
3
2
3
3
33
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
.
Заключительный этап:
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
3
33 dy
y
u
dydx
yx
u
dydx
yx
u
dx
x
u
ud
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
.
2.7. Дифференцирование сложных функций
Пусть – дифференцируемая функция, аргументы которой
в свою очередь являются дифференцируемыми функциями переменной
),...,,(
21 n
xxxfu =
t
:
)(
11
txx =
,
)(
22
txx
=
, …, .
)(txx
nn
=
Тогда полная производная функции u вычисляется по формуле
∑
=
∂
∂
=
n
k
k
k
dt
dx
x
u
dt
du
1
. (16)
Если функция имеет вид u
),,...,,(
21
txxxfu
n
=
, т.е. явным образом зависит
от переменной
t
, то
∑
=
∂
∂
+
∂
∂
=
n
k
k
k
dt
dx
x
u
t
u
dt
du
1
. (17)

Страницы