Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24
2.5. Полные дифференциалы
Рассмотрим, для начала, дифференциал функции
),( y
x
f
u =
двух
независимых переменных.
Дифференциалами независимых переменных называются приращения
аргументов:
x
dx
Δ
=
,
ydy
Δ
=
.
Полный дифференциал функции
),( y
x
f
u
=
определяется соотношением
dy
y
u
dx
x
u
du
∂
∂
+
∂
∂
=
. (11)
Обобщение на общий случай функции
n независимых переменных вполне
очевидно:
n
n
n
k
k
k
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
du
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
=
...
2
2
1
1
1
. (12)
Свойства дифференциалов не зависят от числа аргументов функций:
cducud
=
)(
dvdu
ud
±
=
±
)(,
vduudvvud
+
=
⋅
)(
,
2
)(
vduudv
v
u
d
−
= .
Теорема о полном дифференциале: Пусть функции
),( y
x
A
и
),( y
x
B
имеют непрерывные частные производные до второго порядка
включительно. Тогда выражение вида
dyy
x
B
dxy
x
A
),(),(
+
является полным дифференциалом некоторой функции
),( y
x
f
u
=
, если
x
B
y
A
∂
∂
=
∂
∂
. (13)
Доказательство: Предположим, что
dyy
x
B
dxy
x
A
du ),(),(
+
=
.
Тогда из определения (11) следует, что
x
u
yxA
∂
∂
=),( и
y
u
yxB
∂
∂
=),(
.
Следовательно,
yx
u
y
yxA
∂∂
∂
=
∂
∂
2
),(
и
xy
u
x
yxB
∂∂
∂
=
∂
∂
2
),(
.
Равенство друг другу смешанных производных
xy
u
′
′
и
yx
u
′′
(в силу их
непрерывности) влечет за собой и доказываемое равенство
xy
BA
′
=
′
.

Страницы