Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Предположим, что поверхность достаточно гладкая в окрестности точки
, так что в этой точке существуют частные производные
функции
),,(
0000
zyxP
),,( zy
x
F
.
Касательные линии в точке
поверхности образуют касательную
плоскость, уравнение которой можно представить в виде
0
P
0)()()(
000
=
−
+
−
+
− zzCyyBxxA
, (25)
где
C
B
A
,, - координаты нормального вектора к поверхности в точке .
0
P
Касательную плоскость можно рассматривать как предельное
положение секущей плоскости, проходящей через точки
),,( zy
x
P
и
при , т.е. при
),,(
0000
zyxP
0
PP →
0
0
→−=∆ xxx
,
0
0
→
−
=
∆
yyy
,
0
0
→−
=
∆
zzz
.
Соответственно, вектор }
стремится к вектору
, параллельному касательной плоскости.
,,{ zyxr ∆∆∆=∆
→
},,{ dzdydxrd =
→
Функция
F
удовлетворяет уравнению (24). Тогда ее дифференциал в
любой точке поверхности (а значит и в точке
) равен нулю:
),,(
0000
zyxP
0
),(),(),(
0,000,000,00
=
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dz
z
zyxF
dy
y
zyxF
dx
x
zyxF
. (26)
Выражение в левой части можно рассматривать как скалярное произведение
векторов
и :
)}(),(),({
000
PFPFPFN
zyx
′′′
=
→
},,{ dzdydxrd =
→
0
=
⋅
→→
d
r
N
.
Это уравнение выражает ортогональность векторов
→
N
и
→
r
d :
→→
⊥
r
d
N
.
Поскольку вектор
→
r
d представляет собой предельное положение вектора
→
∆
r
, проведенного из точки в точку
0
P
P
, а точка
P
является
произвольной точкой поверхности, то вектор
→
r
d является произвольно
ориентированным вектором касательной плоскости.
Следовательно, вектор
→
N
перпендикулярен касательной плоскости в точке
. Это означает, что частные производные функции
0
P
F
в точке являются
координатами нормального вектора к поверхности в этой точке:
0
P
x
zyxF
A
∂
∂
=
),(
0,00
,
y
zyxF
B
∂
=
),(
0,00
,
z
zyxF
C
∂
∂
=
),(
0,00
.
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности
0),,( =zy
x
F
в точке имеет следующий вид:
0
P
29

Страницы