Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Для дифференциалов можно воспользоваться символической записью.
Тогда в случае функции двух переменных:
),(),(
00
yxfyxff
−
=
∆
,
),(),())()((
1
0000
yxRyxf
y
yy
x
xxf
n
n
k
n
+
∂
∂
−+
∂
∂
−=∆
∑
=
.
Для функции трех переменных:
),,(),,(
000
zyxfzyxff
−
=∆
,
),,(),,())()()((
1
000000
zyxRzyxf
z
zz
y
yy
x
xxf
n
n
k
n
+
∂
∂
−+
∂
∂
−+
∂
∂
−=∆
∑
=
.
Формула Тейлора принимает еще более громоздкий вид, если расписать
дифференциалы.
Так, даже в случае функции двух переменных и с учетом лишь второго
дифференциала мы имеем
...)))(,,(
))()(,,(2))(,,((
2
1
))(,,())(,,(
2
0000
00000
2
0000
00000000
2
2
+−
′′
+
−−
′′
+−
′′
+
−
′
+
−
′
=∆
yyzyxf
yyxxzyxfxxzyxf
yyzyxfxxzyxff
y
xy
x
yx
2.11. Экстремумы функций двух переменных
Определения максимума, минимума и экстремума функции нескольких
переменных в точности такие же, что и в случае функции одной
переменной.
Для примера приведем пару таких определений.
Функция
)(
P
f
имеет максимум в точке , если для
всех
0
P )()(
0
PfPf ≤
P
в некоторой окрестности точки .
0
P
Каждая из точек, в которых функция достигает максимума или минимума,
называются
точкой экстремума.
В общем виде проблема нахождения экстремумов некоторой
дифференцируемой функции решается с помощью формулы Тейлора (30).
Идея решения достаточно проста: точка
является точкой экстремума,
если и только если знак разности
0
P
)()()(
00
PfPfPf
−
=
∆
сохраняется в
некоторой окрестности этой точки.
Ограничимся для простоты случаем функции двух переменных.
Пусть функция
),( y
x
f
z
определена и дифференцируема в окрестности
точки
. В первом приближении
0
P
dyPfdxPfPdfPf
yx
)()()()(
0000
′
+
′
=
≈∆ .
31

Страницы