ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32
Если производные и )
)(
0
Pf
x
′
(
0
Pf
y
′
– или хотя бы одна из них – отличны от
нуля, то знак приращения
будет зависеть от знаков приращения и
.
)(
0
Pf∆
dx
dy
Таким образом, в точках экстремума частные производные функции
)(
P
f
равны нулю (или не существуют). Это необходимое условие
экстремума
.
Для нахождения критических точек нужно решить систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
=
′
=
′
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x
(32)
(Отметим, что касательная плоскость в критических точках проходит
параллельно плоскости
x
Oy
).
Поскольку в критической точке
первый дифференциал функции
0
P
)(
P
f
обращается в нуль, то необходимо учесть следующий член в формуле
Тейлора:
)2(
2
1
!2
)(
)(
22
0
2
0
22
dyfdxdyfdxf
Pfd
Pf
y
xy
x
′′
+
′′
+
′′
=≈∆
.
Сформулируем
достаточные условия экстремума.
•
Функция имеет минимум в критической точке, если второй
дифференциал в этой точке положителен.
•
Функция имеет максимум в критической точке, если второй
дифференциал в этой точке отрицателен.
Существует простое правило, позволяющее установить знак второго
дифференциала и, тем самым, установить - является ли критическая точка
точкой экстремума.
0
P
Правило: Пусть частные производные второго порядка , , и
2
x
f
′′
xy
f
′′
yx
f
′′
2
y
f
′
′
,
вычисленные в критической точке
, является элементами определителя:
0
P
)()(
)()(
00
00
2
2
PfPf
PfPf
D
y
yx
xy
x
′′′′
′
′
′
′
=
(33)
Тогда:
•
Если и , то является точкой минимума. 0
0
>D
0)(
0
2
>
′′
Pf
x
0
P
•
Если и , то является точкой максимума. >D
0)(
0
2
<
′′
Pf
x
0
P
•
Если 0, то функция <D
),( y
x
f
имеет в седловую точку.
0
P
•
Если 0, то вопрос об экстремуме остается открытым. =D
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
