ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Первообразные
Понятие неопределенного интеграла тесно связано с понятием
первообразной, нахождение которой представляет собой операцию
обратную дифференцированию. Это означает, что по известному результату
дифференцирования нужно восстановить исходную функцию, т.е. исходные
данные и ответ меняются ролями.
Функция
)(
x
F
называется первообразной функции
)(
x
f
в области D, если
(
)
(
)
xfxF
=
′
(1)
для всех
D
x
∈ .
Первообразная это функция,
производная от которой равна данной функции.
Пример 1. Функция
)(
x
f
является первообразной для )(xf
′
.
Пример 2. Функция ) является первообразной функции 1ln(
2
x+
2
1
2
x
x
+
, т.к.
2
2
2
2
1
2
)1(
1
1
))1(ln(
x
x
x
x
x
+
=
′
+⋅
+
=
′
+ для всех D
x
∈ .
Если к первообразной
)(
x
F
функции
)(
x
f
прибавить произвольную
константу
С, то полученная функция
C
x
F
+
)(
также является
первообразной, поскольку
(
)
(
)
xfCxF
=
′
+
)(. Справедливо и более сильное
утверждение.
Если
и – первообразные функции для
)(
1
xF )(
2
xF
f
, то они отличаются
друг от друга не более чем на постоянное слагаемое:
CxFxF
+
=
)()(
21
.
Действительно, если
)()()(
21
xfxFxF
=
′
=
′
, то
0)(
2121
=
′
−
′
=
′
− FFFF
для всех D
x
∈
.
Следовательно, разность
равна константе.
21
FF −
Таким образом, если известна одна первообразная
)(
x
F
функции
f
, то
известны все ее первообразные, совокупность которых может быть
представлена в виде
C
x
F +)(
, где - произвольная константа. C
Пример 3. Обе функции, и , являются
2
1
)1( += xF 42
2
2
−+= xxF
первообразными функции
)1(2)(
+
=
x
x
f
, поскольку
)1(2
1
+=
′
xF
и
)1(222
2
+
=
+
=
′
xxF
.
Легко проверить, что разность
21
FF
−
равна константе 5.
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
