Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30
0))(())(())((
000000
=
−
′
+
−
′
+
−
′
zzPFyyPFxxPF
zyx
. (27)
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно направляющему вектору
, описывается уравнением
0
P
→
q
zyx
q
zz
q
yy
q
xx
000
−
=
−
=
−
.
Нормаль
→
N
к поверхности одновременно является направляющим вектором
прямой, проходящей через точку перпендикулярно к поверхности
→
q
0
P
0),,( =zy
x
F
. Следовательно, уравнение такой прямой имеет вид
),,(),,(),,(
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
′
−
=
′
−
=
′
−
. (28)
Если поверхность задана в явном виде, например, уравнением
),( y
x
f
z =
,
то
),(),,( y
x
f
zzy
x
F
−
=
и, следовательно,
xx
fF
′
=
′
,
yy
fF
′
=
′
и
1
−
=
′
z
F
. (29)
Пример. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
параболоида вращения в точке .
22
yxz +=
)2534(
0
,,-P
Решение. Найдем частные производные функция
zyxzyxF −+=
22
),,(
в заданной точке:
xPF
x
2)( =
′
⇒
8)(
0
−
=
′
PF
x
,
yPF
y
2)( =
′
⇒ 6)(
0
=
′
PF
y
,
1)( −=
′
PF
z
⇒
1)(
0
−
=
′
PF
x
,
Теперь нужно просто подставить найденные значения в уравнение
касательной плоскости (27):
0)25()3(6)4(8
=
−
−
−
+
+− zy
x
⇒
02568
=
+
+
−
zy
x
.
2.10. Формула Тейлора для функций нескольких переменных
Формула Тейлора, записанная в терминах дифференциалов, не меняет свой
вид при переходе от функции одной переменной к функции нескольких
переменных (см. стр. 8, раздел 2.1, формула (8)):
)(
!
)(
...
!3
)(
!2
)(
)()()(
00
3
0
2
00
PR
n
PfdPfdPfd
PdfPfPf
n
n
+++++=−
. (30)

Страницы