Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Таблица интегралов
Для составления таблицы интегралов возьмем за основу таблицу
производных. Начнем со степенной функции:
.
1
)(
−
=
′
kk
kxx
Заменим в этой формуле
k
на
)1(
+
n
:
nn
xnx )1()(
1
+=
′
+
.
Предположим, что 1
и разделим обе части равенства на ; затем
внесем постоянный множитель под знак производной:
−≠n
)1( +n
)(
1
1
1
′
+
=
+nn
x
n
x
⇒ )
1
(
1
′
+
=
+
n
x
x
n
n
.
Производная от функции
1
1
+
+
n
x
n
равна
n
x
. Следовательно,
1
1
+
+
n
x
n
является
первообразной для функции
n
x
:
∫
+
+
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1
, 1
−
≠
n .
Аналогичным образом можно преобразовать оставшуюся часть таблицы
производных в таблицу интегралов.
Таблица 1. Основные интегралы
№ Производные
Интегралы Ограничения
1
)
1
(
1
′
+
=
+
n
x
x
n
n
∫
+
+
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1
1
−≠n
2
)(ln
1
′
= x
x
∫
+= Cx
x
dx
||ln
0
≠
x
3
)
ln
(
′
=
a
a
a
x
x
)(
′
=
xx
ee
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
Cedxe
xx
+=
∫
0
>a , 1
≠
a
4
)cos(sin
′
−= xx
Cxdxx +−=
∫
cossin
5
)(sincos
′
= xx
Cxdxx +=
∫
sincos
6
)tg(
cos
1
2
′
= x
x
Cx
x
dx
+=
∫
tg
cos
2
nx
π
π
+≠
2
7
)ctg(
sin
1
2
′
−= x
x
Cx
x
dx
+−=
∫
ctg
sin
2
n
x
≠
8
⎩
⎨
⎧
′
−
′
=
−
)arccos(
)(arcsin
1
1
2
x
x
x
⎩
⎨
⎧
+−
+
=
−
∫
Cx
Cx
x
dx
arccos
arcsin
1
2
1|| ≤
x
9
⎩
⎨
⎧
′
−
′
=
+
)arcctg(
)arctg(
1
1
2
x
x
x
⎩
⎨
⎧
+−
+
=
+
∫
Cx
Cx
x
dx
arcctg
arctg
1
2
36

Страницы