Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.5. Методы интегрирования
Чтобы продифференцировать функцию, достаточно следовать
простым правилам. При этом структура функции практически
несущественна – с точки зрения самой возможности получения результата.
Совсем не так обстоит дело с интегрированием функций. Например, легко
продифференцировать функцию
xln1
, однако интеграл от
xln1
является
неберущимся – в том смысле, что его нельзя выразить через какую-либо
конечную комбинацию элементарных функций.
Не существует универсальных рецептов, пригодных для
интегрирования любых функций. В каких то случаях достаточно выполнить
простые преобразования подынтегрального выражения или же разложить
рациональную дробь на сумму простых дробей, например,
.||ln
2
1
|)|ln||(ln
2
1
)(
2
1
)
11
(
2
1
22
C
a
x
ax
a
Caxax
a
ax
dx
ax
dx
a
dx
axaxa
ax
dx
+
+
−
=++−−=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
∫∫∫∫
В более сложных случаях требуется использование иных приемов, характер
которых определяется типом интегрируемой функции, так что на передний
план выходит классификация интегралов по различного вида признакам.
Особенно важное значение имеют: (1) метод замены переменной
(другое название которого – метод подстановки) и (2) метод
интегрирования по частям. Конечной целью применения этих методов – за
редкими
исключениями – является сведение данного интеграла к
табличному виду.
3.5.1. Метод замены переменной
Из соображений удобства подстановки можно подразделить на два
типа: 1)
)(
x
g
u =
, 2)
)(
t
u
x
=
.
В обоих случаях речь идет о замене переменной, а различие заключается
только в технике реализации этой замены. Например, интегралы вида
в результате подстановки
dxxgxgf
∫
′
)())((
)(
x
g
u
=
(и с учетом равенства
) преобразуются к более простому виду: dxxgdu )(
′
=
()
duufdx(x)gg(x)f
∫∫
=
′
)(
.
Подобный эффект достигается применением подстановки
)(
t
u
x
=
–
интегралы одного вида
преобразуется к другому:
dxxf
∫
)(
(
)
dt(t)u(t)ufdxxf
∫
∫
′
=)(
.
Возможно, что другой интеграл окажется проще исходного. Если же нет, то
следует подумать о других подстановках или же применить другой метод
интегрирования.
38

Страницы