ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.5.1.1. Занимательные и поучительные упражнения
Упражнения 1-3. Рассмотрим табличный интеграл
C
x
dxx +=
∫
3
3
2
.
Заменив в обеих частях переменную x на функцию
x
ln , мы получаем
новый результат,
C
x
dx
x
x
xdx +==
∫∫
3
lnln
)(lnln
32
2
.
Аналогично проявляют себя другие замены:
x
x
sin→
⇒ C
x
dxxxxdx +==
∫∫
3
sin
cossin)(sinsin
3
22
,
x
x
arctg→
⇒
C
x
dx
x
x
xdx +=
+
=
∫∫
3
arctg
1
arctg
) arctg(arctg
3
2
2
2
.
Упражнения 4-6. Подобные манипуляции можно проделывать и с другими
интегралами. Пусть, например, исходным интегралом является
Cx
x
dx
+=
∫
||ln
. Тогда
x
x
ln→
⇒
Cx
x
x
dx
x
xd
+==
∫∫
|ln|ln
lnln
)(ln
,
x
x
sin→
⇒
Cxxdx
x
xdx
x
xd
+===
∫∫∫
|sin|ln ctg
sin
cos
sin
)(sin
,
x
x
arcsi
n
→
⇒
Cx
xx
dx
x
x)d(
+=
−
=
∫∫
|arcsin|ln
1arcsin
arcsin
arcsin
2
.
Взяв за основу простые интегралы (с известными ответами) и преобразовав
их в “сложные”, мы окольным путем вычислили эти “сложные” интегралы.
Можно интерпретировать наши действия и как составление задач на
интегрирование – тем более что в реальности это примерно так и
происходит. Нам осталось только воспользоваться какой-нибудь фразой
типа “Вычислить методом
замены переменной следующие интегралы”, сами
же интегралы у нас уже имеются:
∫
dx
x
x
2
ln
,
∫
dxxxcossin
2
, и т.д.
Подобный подход к составлению задач обладает целым рядом
достоинств:
1)
Ответ известен заранее.
2)
Алгоритм решения проблемы известен заранее.
3)
Простота искомого результата гарантирована.
Если продолжить игру в “занимательные упражнения”, то можно
обнаружить, что добрая половина задач (в сборниках задач и упражнений)
составлена именно по этому принципу.
39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
