ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Рассмотрим теперь в формализованном виде алгоритм вычисления
интеграла
∫
dx
x
x
2
ln
, который на первый взгляд представляется сложным,
поскольку переменная интегрирования находится везде, где это только
возможно: и под знаком логарифма, и в знаменателе дроби, и под знаком
дифференциала.
1.
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
∫
)(ln
ln
2
xd
x
dx
dx
x
x
U
⇒
∫∫
= )(lnln
ln
2
2
xxddx
x
x
2.
xzxdx ln)(lnln
2
=
∫
U ⇒
∫
∫
= dzzxdx
22
)(lnln
2.
32
3
1
zdzz =
∫
⇒
xzxdx
332
ln
3
1
3
1
)(lnln ==
∫
3.
xxdxxxddx
x
x
322
2
ln
3
1
)(lnln)(lnln
ln
==
∫∫∫
U
⇒ xdx
x
x
3
2
ln
3
1ln
=
∫
Здесь уже на первом этапе рассуждений используется решение
вспомогательной проблемы, связанной с интегрированием, а именно:
)(ln xd
x
dx
=
потому, что
∫
+= Cx
x
dx
||ln
. В результате исходный интеграл
представлен в таком виде, что переменная интегрирования входит только
под знак логарифма:
. Это обстоятельство сразу же указывает
на заведомо хорошую подстановку
∫
)(lnln
2
xdx
x
z ln
=
, посредством которой интеграл
приводится к табличному виду
∫
dzz
2
, что и решает проблему
интегрирования.
Почему решение оказалось таким простым и гладким? Просто потому,
что один из сомножителей подынтегральной функции
x
x
1
ln
2
⋅
содержит
только
x
ln , а оставшийся множитель представляет собой производную от
этого самого логарифма. Тем самым зависимость подынтегральной функции
от x осуществляется через посредство
x
ln , который играет роль новой
переменной. Стоит только нарушить такую гармонию, изменив
подынтегральную функцию соответствующим образом, и интеграл почти
наверняка превратится в неберущийся.
Проанализируем под таким углом зрения некоторые из составленных задач.
Упражнение 8. Вычислить интеграл
∫
dxxxcossin
2
.
Решение. Очевидно, что )(sincos
′
=
xx и, следовательно,
x
sin следует взять
за новую переменную:
∫∫∫
+==
′
= Czdzzdxxxdxxx
3222
3
1
)(sinsincossin
.
41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
