ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.5.1.2. Обобщение таблицы интегралов
Метод подстановки позволяет провести обобщение таблицы интегралов.
Рассмотрим, например, интеграл от степенной функции,
∫
+
+
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1
( ). 1−≠n
Выполнив постановку
)(
t
u
x
=
, где
)(
t
u
– некоторая дифференцируемая
функция, мы получаем новый интеграл
∫
+
+
=
+
C
n
u
duu
n
n
1
1
,
который внешне совпадает с исходным, но отличается от него по своей сути,
поскольку символ представляет собой функцию переменной u
t
и поэтому
d
t
udu
′
=
. Таким образом, для любой дифференцируемой функции
)(
t
u
справедливо следующее обобщенное правило:
∫
+
+
=
′
+
C
n
tu
dttutu
n
n
1
)(
)()(
1
( ). 1−≠n
Подобным же образом можно интерпретировать каждый табличный
интеграл, заменяя переменную интегрирования на любую
дифференцируемую функцию:
Cedxxue
xuxu
+=
′
∫
)()(
)(
,
Cxudxxuxu +−=
′
∫
)(cos)()(sin
, и т.д.
3.5.1.3. Примеры применения метода
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
+
dx
x
x
2
4
1
) arctg(
.
Решение. Подстановка
x
z
arctg=
влечет
2
1
x
dx
dz
+
= и, следовательно,
C
z
dzzdx
x
x
+==
+
∫∫
5
1
) arctg(
5
4
2
4
.
Теперь нужно вернуться к исходной переменной, подставляя
x
z
arctg=
:
C
x
dx
x
x
+=
+
∫
5
) arctg(
1
) arctg(
5
2
4
.
Пример 2.
.| arctg|ln||ln
)1)( arctg(
arctg
2
CxCz
z
dz
xx
dx
xz
+=+=
=
+
∫∫
=
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
