ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Осталось сделать обратную замену
x
z sin
=
и записать ответ:
Cxdxxx +=
∫
32
sin
3
1
cossin
. (9)
Упражнение 9. Вычислить интеграл
∫
+
dx
x
x
2
2
1
arctg
.
Решение. Здесь ) arctg(
1
1
2
′
=
+
x
x
, что однозначно указывает на подстановку
x
z
arctg=
.
Тогда
CxCzdzzdx
x
x
+=+==
+
∫∫
332
2
2
arctg
3
1
3
1
1
arctg
. (10)
Многие задачи переходят из разряда “трудных” в категорию
“элементарных” после одного или двух вынужденных шагов. В качестве
еще одного примера проанализируем интеграл
∫
−
2
1arcsin xx
dx
, под знаком
которого содержится обратная тригонометрическая функция и,
одновременно, иррациональное выражение. В подобных случаях, как
правило, возможны всего два варианта: либо интеграл вычисляется
элементарно, либо является не берущимся. Среди табличных интегралов нет
ни одного, содержащего арксинус (к тому же еще и в знаменателе). Уже
этого обстоятельства достаточно для
того, чтобы испытать подстановку
z
x
=arcsi
n
, которая влечет dz
x
dx
=
−
2
1
и, следовательно,
∫∫
=
−
z
dz
xx
dx
2
1arcsin
.
Подстановка была вынужденной, но оказалась удачной: интеграл приведен
к табличному виду. Все оказалось внутренне согласованным – нужный
радикал в нужном месте в комбинации с нужной функцией. Достаточно,
например, заменить единицу под знаком корня на любое другое число или
же изменить степень корня, чтобы превратить интеграл в не берущийся.
Так, любой
из нижеприведенных интегралов является не берущимся:
∫
−
2
3arcsin xx
dx
,
∫
−
2
1)2arcsin( xx
dx
,
∫
−
4
1arcsin xx
dx
,
∫
−
2
51arcsin xx
dx
,
∫
−
3
2
1arcsin xx
dx
,
∫
−
2
1arcsin xx
dxx
.
42
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
