ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Проблема 2. Вычислить интеграл
∫
−
22
xa
dx
.
Решение: Подстановка
a
t
x
=
сразу преобразует интеграл к табличному
виду:
.arcsinarcsin
1
1
2
222222
C
a
x
Ct
t
dt
ta
adx
taa
adt
xa
dx
+=+=
−
=
−
=
−
=
−
∫
∫∫∫
(12)
Проблема 3. Доказать справедливость формулы
Caxx
ax
dx
+±+=
±
∫
)ln(
22
22
. (13)
Доказательство: Покажем, что производная от )ln(
22
axx ±+ равна
подынтегральной функции.
.
11
)2
2
1
1(
1
))(ln(
2222
22
22
2222
22
axax
xax
axx
x
axaxx
axx
±
=
±
+±
±+
=
±
+
±+
=
′
±+
Показали.
3.5.3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид
∫
∫
−= vduuvudv
(14)
где
)(
x
uu =
и
)(
x
vv =
- любые дифференцируемые функции.
Формула (14) позволяет свести одну проблему интегрирования к другой.
Так, если можно вычислить один из интегралов,
∫
udv
или , то можно
вычислить и другой, выразив его через известный. В этом и заключается
суть метода интегрирования по частям.
∫
vdu
Вывод формулы интегрирования по частям достаточно прост:
vduudvuvd +
=
)(
⇒
vduuvdudv
−
=
)(
⇒
∫∫∫
−= vduuvdudv )(
⇒
∫
∫
−= vduuvudv
.
Процедура интегрирования по частям состоит из двух этапов.
Во-первых, подынтегральную функцию )(
x
f
нужно представить в виде
произведения некоторых функций )(
x
u и
)(xv
′
:
∫
∫
∫
=
′
= )()()()()( xdvxudxxvxudxxf
.
Например, можно положить )(
x
f
u
=
, что означает dxd
v
=
, т.е. .
1)( =
′
xv
46
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
