ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Во-вторых, чтобы найти и du
)(
x
v
, нужно продифференцировать )(
x
u и
проинтегрировать
:
)(xv
′
dxxudu )(
′
= ,
∫
′
= dxxvxv )()(
.
(Заметим, что в выражении для
)(
x
v
постоянную интегрирования можно
положить равной нулю.)
Затем пытаемся вычислить интеграл в правой части формулы
интегрирования по частям.
Самым сложным этапом метода интегрирования по частям является
выбор функций )(
x
u и , поскольку не существует универсального
правила, применимого во всех случаях. Понимание приходит только с
опытом. Поэтому на первых порах сделайте какой-нибудь выбор и
посмотрите – будет ли полученный интеграл проще исходного. Если нет, то
сделайте другой выбор, перебирая различные варианты до тех пор, пока не
будет найден наилучший. Обычно достаточно решить
несколько примеров,
чтобы научиться сразу делать правильный выбор. В качестве ориентиров
можно использовать следующие простые
критерии.
)(xv
′
(A): Интеграл от
v
должен вычисляться достаточно просто.
′
(B): Производная от )(
x
u должна быть достаточно простой функцией
(желательно, более простой, чем сама функция )(
x
u ).
3.5.3.1. Занимательные упражнения
Повторим путь, пройденный при обсуждении метода замены переменной, а
именно: изучение метода интегрирования по частям начнем с составления
задач. Это дело – не хитрое. Выбирается достаточно простой известный
интеграл
и интегрируется по частям. В результате возникает новый
интеграл
, про который заранее известно все: и метод его вычисления,
и ответ, и даже то, что ответ простой. Теперь можно предложить вычислить
этот интеграл тому, кто неискушен в хитростях подобного рода.
∫
udv
∫
vdu
Упражнение 1. Представим простейший интеграл
Cxdx +=
∫
в виде
∫∫∫
== )(ln xxd
x
dx
xdx
.
Интегрируем по частям, выбрав
x
v
x
u ln,
=
=
:
∫∫
−= xdxxxxxd lnln)(ln
⇒
∫
∫
−= dxxxxdx lnln
.
Таким образом,
. (15)
Cxxxxdx +−=
∫
lnln
47
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
