ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.5.3.2. Примеры применения метода
Пример 1. Вычислить интеграл
dxxx
∫
ln
2
.
Решение. Обсудим различные варианты представления подынтегральной
функции
x
x
u ln
2
= в виде произведения ud
v
.
1)
x
u = ,
x
x
v ln=
′
⇒ dxdu
=
, ;
∫
= dxxxv ln
2)
2
x
u = ,
x
v ln=
′
⇒
x
d
x
du 2
=
, ;
∫
= dxxv ln
3)
x
x
u ln= ,
x
v =
′
⇒
)ln(
x
x
ddu
=
, ;
∫
= xdxv
4)
x
x
u ln
2
= , ⇒ , .
1=
′
v
)ln(
2
xxddu =
∫
= dxv
5)
x
u ln= ,
2
x
v =
′
⇒
x
dx
du =
, ;
∫
= dxxv
2
Варианты 1) и 2) не удовлетворяют критерию (A), поскольку интегралы от
x
x
ln и от
x
ln слишком сложны.
Варианты 3) и 4) противоречат критерию (B).
Только пятый вариант приемлем во всех отношениях.
Действительно, во-первых, степенная функция
2
x
легко интегрируется:
3
3
2
x
dxxv ==
∫
(0
=
C
).
Во-вторых, производной от
является рационная функция
xln
1
)(ln
−
=
′
xx ,
которая, безусловно, значительно проще логарифмической функции.
Применим формулу интегрирования по частям:
.
9
ln
33
1
ln
3
3
1
ln
3
ln
33
2
3
3
3
2
C
x
x
x
dxxx
x
x
dx
xx
x
dxxx
+−=−=
−=
∫
∫∫
(20)
Пример 2. Вычислить .
∫
dxxe
x3
Решение. Преобразуем исходный интеграл:
∫∫∫
==
=
tdtt
t
dt
ttdxxe
tx
x
lnln
233
ln
.
Учитывая результат, полученный в предыдущем примере, и выполнив
обратную замену
x
e
t
= , получаем
CexeC
t
t
t
dxxe
xxx
+−=+−=
∫
33
33
3
9
1
3
1
9
||ln
3
. (21)
49
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
