ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 5. Вычислить интеграл
∫
xdxx
2
ln
.
Решение. Пусть
x
u
2
ln
=
и
x
d
x
d
v
=
. Тогда
x
xdx
du
ln2
=
и
2
2
x
xdxv ==
∫
.
Интегрируем по частям:
∫∫
−= xdxxx
x
xdxx lnln
2
ln
2
2
2
. (24)
Полученный интеграл имеет более простой вид, чем исходный, поскольку
содержит меньшую степень логарифма. Естественно ожидать, что в
результате повторного интегрирования по частям степень логарифма
понизится еще на одну единицу.
Полагаем теперь
x
u ln= и
x
d
x
d
v
=
, что влечет
x
dx
du =
и
2
2
x
xdxv ==
∫
.
Следовательно,
.
4
ln
2
2
1
ln
2
ln
22
2
x
x
x
xdxx
x
xdxx
−=
−=
∫∫
Подставим полученный результат в равенство (24):
C
x
x
x
x
x
xdxx +−−=
∫
)
4
ln
2
(ln
2
ln
22
2
2
2
⇒
Cxx
x
xdxx ++−=
∫
)
2
1
ln(ln
2
ln
2
2
2
. (25)
Обобщение: Подобным образом можно интегрировать произведение
любого многочлена
)(
x
P
и логарифмической функции, а также
произведение многочлена с одной из обратных тригонометрических
функций.
Пример 6. Преобразуем выражение (25) подстановкой
x
z ln
=
:
∫
xdxx
2
ln
⇒
∫
dzez
z22
,
)
2
1
ln(ln
2
2
2
+− xx
x
⇒
zz
ezzzze
2222
)122(
4
1
)
2
1
(
2
1
+−=+−
.
Следовательно,
zz
ezzdzez
2222
)122(
4
1
+−=
∫
.
Перепишем эту формулу в более компактном виде, выполнив замену z
x
2
=
:
xx
exxdxex )22(
22
+−=
∫
. (26)
51
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
