Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3. Вычислить .
∫
dxx arctg
Решение. Пусть
x
u arctg
=
и
1
=
′
v
. Тогда
2
1
x
dx
du
+
= и
x
v
=
.
Интегрируем по частям:
∫∫
+
−= dx
x
x
xxxdx
2
1
arctg arctg .
Интеграл
∫
+
dx
x
x
2
1
вычисляется элементарно:
)1ln(
2
1
1
)1(
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
x
x
xd
x
dx
x
xdx
+=
+
+
=
+
=
+
∫∫∫
.
Таким образом,
.)1ln(
2
1
arctg
1
arctg arctg
2
2
Cxxx
dx
x
x
xxxdx
++−=
+
−=
∫∫
(22)
Пример 4. Вычислить интеграл
∫
dx
x
x
2
cos
.
Решение. Заметим, что ) tg(
cos
2
xd
x
dx
= . Испытаем подстановку
z
x
=
tg
,
которая влечет за собой
z
x
arctg=
. Тогда
∫∫
= dzzdx
x
x
arctg
cos
2
.
Учитывая равенство (22), получаем
.)tg1ln(
2
1
tg
)1ln(
2
1
arctg
cos
2
2
2
Cxxx
Czzzdx
x
x
++−=
++−=
∫
Это выражение можно упростить, используя тригонометрическое тождество
x
x
x
2
2
2
cos
cos
1
tg1
−
==+
и свойство логарифмов, согласно которому |
.
cos|ln2cosln
2
xx −=
−
Таким образом,
Cxxxdx
x
x
++=
∫
|cos|ln tg
cos
2
. (23)
Для вычисления некоторых интегралов требуется повторное применение
процедуры интегрирования по частям.
50

Страницы