ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Замечание. Если обратить вычисления и применить процедуру
интегрирования по частям непосредственно к интегралу
, то нужно
поменять ролями u и v, выбрав
∫
xdxln
x
v
x
u
=
=
,ln .
Вернемся к выражению (15) и преобразуем его, применив Свойство 5,
которое позволяет заменить переменную интегрирования произвольной
дифференцируемой функцией. Выполнив подстановку
t
e
x
= и учитывая
очевидные равенства
t
e
t
=
ln , d
t
ede
tt
=
,
получаем новый результат,
. (16)
Cetedtte
ttt
+−=
∫
Сборник задач пополнился интегралом
∫
dtte
t
, который можно поместить в
раздел “Интегрирование по частям” и посоветовать выбрать
t
u =
и
t
ev
=
.
Упражнение 2. Проделаем аналогичные преобразования с интегралом
∫
+= C
x
xdx
2
2
, выбрав на этапе интегрирования по частям
(тем самым,
xvxu ln,
2
==
x
d
x
du 2= ):
∫∫∫∫
−=== xdxxxxxdx
x
dx
xxdx ln2ln)(ln
222
⇒
∫
∫
−= xdxxxxdxx lnln2
2
.
Таким образом,
Cxxxxdxx +−=
∫
22
4
1
ln
2
1
ln
. (17)
Как и в предыдущем примере, процедуру интегрирования по частям можно
применить непосредственно к интегралу
∫
xdxxln
, поменяв ролями u и v. В
таком случае .
2
,ln xvxu ==
Выполнив в выражении (17) подстановку
t
e
x
=
, получаем (в качестве
бесплатного приложения) еще одну готовую задачу с известным ответом:
Cetedtte
ttt
+−=
∫
222
4
1
2
1
. (18)
Этот результат можно представить в более компактном виде, если сделать
подстановку z
t
=2:
. (19)
Cezedzze
zzz
+−=
∫
Замечание: Интегралы преобразуются к виду
подстановкой
xdxx
n
ln
∫ ∫
+
dtte
tn )1(
t
e
x
= . Следовательно, вычислив один из этих интегралов, мы
одновременно находим и другой.
48
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
