Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Составим из равенств (29) и (30) систему линейных уравнений
относительно переменных
и :
1
I
2
I
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=+
.cos
1
,sin
1
21
21
bxe
b
II
b
a
bxe
b
I
b
a
I
ax
ax
Выполнив простые алгебраические преобразования, получаем
ax
e
ba
bxbbxa
I
22
1
sincos
+
+
= ,
ax
e
ba
bxbbxa
I
22
2
cossin
+
−
= .
Таким образом,
Ce
ba
bxbbxa
bxdxe
axax
+
+
+
=
∫
22
sincos
cos , (31)
Ce
ba
bxbbxa
bxdxe
axax
+
+
−
=
∫
22
cossin
sin . (32)
Заметим, что к интегралам рассматриваемого вида сводятся некоторые
другие интегралы.
Пример 1. Вычислить .
∫
dxxb )lnsin(
Решение. Сделаем замену переменной:
t
x
=
ln .
Тогда
t
e
x
= , dtedx
t
=
и, следовательно,
∫
∫
= dtbtedxxb
t
sin)lnsin(
.
Используя формулу (32) и возвращаясь к переменной x, получаем
.
1
)lncos()lnsin(
1
cossin
)lnsin(
2
2
Cx
b
xbbxb
Ce
b
btbbt
dxxb
t
+
+
−
=
+
+
−
=
∫
Пример 2. Вычислить .
∫
dxx)cos(ln
Решение. Сделаем подстановку
t
x
=
ln и воспользуемся формулой (31):
.))sin(ln)(cos(ln
2
1
2
sincos
cos)cos(ln
Cxxx
Ce
tt
dttedxx
tt
++=
+
+
==
∫∫
55

Страницы