ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3.6. Интегрирование рациональных функций
3.6.1. Основные понятия
В этом разделе мы обсудим проблему интегрирования рациональных
функций, т.е. выражений вида
)(
)(
)(
xQ
xP
xf =
,
где
)(
x
P
и
)(
x
Q
– многочлены целой степени
x
.
Говорят, что рациональная функция
)(
)(
xQ
xP
является правильной дробью,
если степень многочлена
)(
x
P
в числителе меньше степени многочлена
)(
x
Q
в знаменателе.
Примерами рациональных функций являются выражения
72
3
+
x
x
,
534
1
2
2
−
+
−
x
x
x
,
15
23
3
−
+
−
x
x
x
,
4
)5(
1
+x
,
два последних из которых представляют собой правильные дроби.
Если
)(
)(
xQ
xP
не является правильной дробью, то делением многочлена
)(
x
P
на многочлен
)(
x
Q
, их отношение можно представить в виде
)(
)(
)(
)(
)(
1
xQ
xR
xP
xQ
xP
+=
,
где
– некоторый многочлен (называемый целой частью);
)(
1
xP
)(
)(
xQ
xR
–
правильная дробь (называемая остаточным членом).
Интегрирование многочлена
является вполне тривиальной задачей.
Следовательно, проблема интегрирования произвольной рациональной
функции сводится к проблеме интегрирования правильной дроби.
)(
1
xP
В одном из последующих параграфов мы рассмотрим простые
алгоритмы, позволяющие представить любую правильную дробь в виде
суммы
простых дробей, т.е. выражений вида
1)
n
ax )(
1
−
( ...,3,2,1
=
n ),
2)
n
qpxx
BAx
)(
2
++
+
( ...,3,2,1
=
n ),
где предполагается, что квадратный трехчлен
не имеет
вещественных корней, т.е. его дискриминант
отрицателен.
qpxx ++
2
qpD 4
2
−=
Это означает, в конечном счете, что проблема интегрирования
правильной дроби сводится к проблеме интегрированию простых дробей.
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
