Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

∫
+
=
n
n
at
dt
K
)(
22
(
1≥n
). (35)
применим технику интегрирования по частям.
Пусть
n
at
u
)(
1
22
+
= , dxd
v
=
.
Тогда
122
)(
2
+
+
−
=
n
at
ntdt
du ,
x
v
=
.
Следовательно,
∫∫
∫
∫∫
+
+
+
+
−
+
+
+
=
+
−+
+
+
=
+
−−
+
=
+
.
)(
2
)(
2
)(
)(
)(
2
)(
)(
)2(
)()(
122
2
2222
122
222
22
122
2
2222
nnn
nn
nnn
at
dt
na
at
dt
n
at
t
dt
at
aat
n
at
t
dt
at
t
n
at
t
at
dt
Перепишем это равенство с учетом обозначений (35):
1
2
22
22
)(
+
−+
+
=
nn
n
n
KnanK
at
t
K .
Выразим
через :
1+n
K
n
K
n
nn
at
t
na
K
na
n
K
)(2
1
2
12
2222
1
+
+
−
=
+
.
Перепишем полученный результат в интегральной форме:
nnn
at
t
naat
dt
na
n
at
dt
)(2
1
)(2
12
)(
222222122
+
+
+
−
=
+
∫∫
+
. (36)
Формула (36) представляет собой цепочку равенств.
Подставляя в нее 1, мы получаем выражение для интеграла
через
интеграл
. При 2 формула (36) дает выражение для интеграла
через интеграл
, и т.д.
=n
2
K
1
K
=n
3
K
2
K
Формулы подобного типа называются
рекуррентными соотношениями.
Таким образом, проблема интегрирования простых дробей полностью
решена.
Пример
. Учитывая ранее полученное выражение для интеграла ,
1
K
C
a
t
a
a
t
dt
K +=
+
=
∫
arctg
1
22
1
,
и подставляя в рекуррентные соотношения (36) 1
=
n , получаем:
C
at
t
a
t
a
aat
dt
K +
+
+=
+
=
∫
)arctg
1
(
2
1
)(
222222
2
. (37)
59

Страницы