Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.6.4. Примеры и упражнения
Пример 1. Вычислить интеграл
dx
x
x
x
∫
−
+
9
1
3
4
.
Решение.
1) Выделяем целую часть рационального выражения:
x
x
x
x
x
x
x
9
19
9
1
3
2
3
4
−
+
+=
−
+
.
2) Разлагаем знаменатель на множители:
)3)(3()9(9
23
+−=−=− xxxxxxx .
3) Представляем дробь
x
x
x
9
19
3
2
−
+
в виде суммы простых дробей:
33)3)(3(
19
2
+
+
−
+=
+−
+
x
C
x
B
x
A
xxx
x
.
4) Для нахождения коэффициентов
A, B и C преобразуем последнее
выражение к виду
)3()3()3)(3(19
2
−++++−=+ xCxxBxxxAx
.
5) Определяем коэффициенты
A, B и C, придавая переменной x различные
значения:
0=
x
⇒
A
91
−
=
⇒
91−
=
A
;
3=
x
⇒
B
1882
=
⇒
941
=
B
,
3−=
x
⇒ c1882
=
⇒
941
=
C
.
6) Записываем искомое разложение дроби
x
x
x
9
19
3
2
−
+
:
)
3
41
3
411
(
9
1
9
19
3
2
+
+
−
+−=
−
+
xxx
x
x
x
.
7) Записываем подынтегральную функцию в виде:
)
3
41
3
411
(
9
1
9
19
9
1
3
2
3
4
+
+
−
+−+=
−
+
+=
−
+
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
.
8) Используем свойства интегралов и таблицу интегралов:
.|9|ln
9
41
||ln
9
1
2
|)3|ln|3|(ln
9
41
||ln
9
1
2
)
33
(
9
41
9
1
)
)3(9
41
)3(9
41
9
1
(
9
1
2
2
2
3
4
Cxx
x
Cxxx
x
x
dx
x
dx
x
dx
xdx
dx
xxx
xdx
xx
x
+−+−=
+++−+−=
+
+
−
+−=
+
+
−
+−=
−
+
∫∫∫∫
∫∫
70

Страницы