ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Определение
Пусть функция
)(
x
f
определена на интервале . Разобьем
интервал
на n элементов
],[ ba
],[ ba
n
xxx
∆
∆
∆
,,,
21
L
.
Рис. 1. Разбиение интервала на элементы.
],[ ba
Внутри каждого промежутка
k
x
∆
выберем произвольным образом точку
, вычислим значения функции в этих точках и составим
произведения . Сумма полученных произведений называется
интегральной суммой,
kk
xx ∆∈
kk
xxf ∆)(
∑
=
∆
n
k
kk
xxf
1
)( . (1)
Выполним предельный переход
∞
→n
так, чтобы все
0→
∆
k
x
.
Если существует предел интегральной суммы, который не зависит от
способа разбиения интервала
и выбора точек , то этот предел
называется
определенным интегралом от функции
],[ ba
k
x
)(
x
f
по промежутку
и обозначается тем же символом, что и неопределенный интеграл,
, но с указанием границ a и b.
],[ ba
∫
b
a
dxxf )(
Таким образом,
∑
∫
=
→∆
∆=
n
k
kk
ox
b
a
xxfdxxf
1
max
)(lim)(
. (2)
(Заметим, что если 0max →∆
x
, то все
0→
∆
k
x
и
∞
→n
.)
Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами.
Процедура вычисления интеграла называется интегрированием.
92
4.2. Геометрическая интерпретация
Рассмотрим задачу о вычислении площади
области, ограниченной сверху кривой
)(
x
f
y =
,
снизу – осью 0x, а с боков – вертикальными
отрезками a
x
=
и b
x
=
(как это показано на
Рис. 2).
Идея решения заключается в том, чтобы
выразить полную площадь через бесконечно
малые ее части.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
