Векторная алгебра. Конев В.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Векторы
12
0
Другими словами, набор векторов является линейно зависимым,
если один из этих векторов может быть представлен в виде линейной
комбинации остальных. Например, если
1
≠
λ
, то
)(
1
22
1
1 nn
λλ
λ
aaa ++−= K
.
Теорема.
1)
Любые два ненулевых вектора являются линейно зависимыми тогда
и только тогда когда они коллинеарны (параллельны).
2)
Любые три ненулевых вектора являются линейно зависимыми
тогда и только тогда когда они компланарны (параллельны одной и
той же плоскости или лежат в одной плоскости).
3)
Любые четыре вектора являются линейно зависимыми.
Замечание. Теорема, в частности, утверждает, что
1) любые два неколлинеарных вектора всегда линейно независимы;
2) любые три некомпланарных вектора являются линейно независимыми.
Доказательство.
1)
Два вектора и являются линейно зависимыми, если и только если
уравнение
1
a
2
a
0
2211
=
+
aa λλ
имеет ненулевое решение относительно коэффициентов
и .
1
λ
2
λ
В этом случае
1122
aa λλ
−
=
, т.е. представляет собой
противоположный вектор к вектору
, что означает коллинеарность
векторов
и .
22
aλ
11
aλ
1
a
2
a
2)
Рассмотрим теперь векторное уравнение
0
332211
=
+
+
aaa λλλ
относительно коэффициентов и представим его в виде
однородной системы трех линейных уравнений:
321
,, λλλ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
.0
,0
,0
333232131
323222121
313212111
aaa
aaa
aaa
λλλ
λλλ
λλλ
(4)
Сначала предположим, что векторы ,
и параллельны одной и той же
плоскости, и выберем эту плоскость в качестве плоскости
x,y. Тогда
каждый из векторов имеет по крайней мере одну нулевую координату:
},,{
1312111
aaa=a
},,{
2322212
aaa=a },,{
3332313
aaa=a
0
332313
=
=
=
aaa
.

Страницы