Векторная алгебра. Конев В.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Векторы
Формула (5) является обобщением разложения вектора по
ортогональному базису {
i, j, k} на случай произвольного базиса,
образованного некомпланарными векторами
.
},,{
321
aaa
8. Переход от одного векторного базиса к другому
Пусть произвольный вектор d задан своим разложением по
некоторому базису в трехмерном пространстве векторов:
∑
=
=++=
3
1
332211
k
kk
dddd aaaad . (6)
Перейдем к новому базису векторов
и представим вектор d в
виде разложения по этому базису:
321
,, bbb
332211
~
~
~
bbbd ddd ++= . (7)
Чтобы установить взаимосвязь между координатами вектора
d при
переходе от старого базиса к новому, произведем разложение векторов
по базису :
321
и, bbb
321
,, aaa
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
.
,
,
3332321313
3232221212
3132121111
aaab
aaab
aaab
bbb
bbb
bbb
(8)
Заметим, что коэффициенты
представляют собой координаты векторов
в базисе .
ji
a
i
b
321
,, aaa
Подставив выражения (8) в равенство (7) и приведя подобные члены,
мы вновь получаем разложение вектора
d по базису векторов :
321
,, aaa
∑
=
++=
3
1
332211
)
~~~
(
k
kkkk
dbdbdb ad . (9)
Из сравнения равенств (6) и (9) вытекают формулы преобразования
координат вектора при переходе от одного базиса к другому:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
.
~~~
,
~~~
,
~
~
~
3332231133
3322221122
3312211111
dbdbdbd
dbdbdbd
dbdbdbd
(10)
Представим систему (10) в матричном виде:
DD
B
T
=
~
.
Здесь
B
– матрица, составленная из координат векторов нового базиса в
старом базисе;
T
B
– матрица, получена транспонированием матрицы
B
;
элементами матриц-столбцов
D
и
D
~
являются координаты вектора d в
старом и новом базисах, соответственно:
14

Страницы