Векторная алгебра. Конев В.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Скалярное произведение векторов
Пусть векторы и заданы своими координатами в прямоугольной
системе координат:
a b
},,{
zyx
aaa=a и },,{
zyx
bbb
=
b .
Скалярным произведением векторов и называется число равное
сумме произведений соответствующих координат:
a b
zzyyxx
bababa
+
+
=⋅ ba . (13)
Для обозначения скалярного произведения ba
⋅
используется также
выражение (
a, b).
Теорема. Скалярное произведение векторов и равно произведению
длин векторов на косинус угла между ними:
a b
θ
cosba
=
⋅
ba .
Доказательство: Выберем такую прямоугольную систему координат,
чтобы векторы
a и b лежали в плоскости x,y, а вектор a был бы направлен
вдоль положительного направления оси
x.
В этой системе координат
,aa
x
=
0
=
=
zy
aa и .
Следовательно,
θbb
x
cos=
θ
cosabbababa
zzyyxx
=
+
+=
⋅
ba .
Бывает полезным представить эту теорему в несколько ином виде:
abba
ba
ojboja PrPr
=
=
⋅
или
ba
ba
⋅=
θ
cos
.
Согласно последней формулировке косинус угла между векторами
a
и
b равен скалярному произведению единичных векторов
a
a
и
b
b
.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Если
, то ba ⊥
0
2
coscos ==
π
θ
, что приводит нас к следующему
условию ортогональности векторов },,{
zyx
aaa
=
a и },,{
zyx
bbb
=
b :
16

Страницы