Векторная алгебра. Конев В.В. - 18 стр.

UptoLike

Составители: 

Если
0
=
+
+
zzyyxx
bababa ,
то ba
.
2. Если
b = a, то 0=
θ
и 1cos
=
θ
. Тогда
2222
zyx
aaaa ++==aa .
Следовательно, длина вектора
a выражается формулой
222
zyx
aaaa ++= .
Используя две различных формулы для скалярного произведения векторов,
и зная координаты векторов, мы можем легко найти угол между ними:
222222
cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
++++
+
+
=
=
ba
θ
Большинство приложений скалярного произведения связано именно с
нахождением угла между векторами, а также с использованием условия
ортогональности векторов.
9.1. Свойства скалярного произведения
Нижеприведенные свойства основаны на определении скалярного
произведения или непосредственно вытекают из доказанной теоремы. Их
доказательство не приводится в виду своей очевидности.
1)
Скалярное произведение векторов коммутативно:
abba
=
.
2)
Скалярное произведение векторов дистрибутивно:
cbcacba
+
=
+
)(
.
3)
Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то
векторы перпендикулярны друг другу и обратно, если два вектора
перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
ba
0ba
=
.
9.2. Примеры
Пример 1. Легко проверить, что векторы
i = {1, 0, 0}, j = {0, 1, 0} и k = {0, 0, 1}
образуют ортонормированный базис, т.е. являются единичными взаимно
перпендикулярными векторами:
1=
, 1
=
j
j
, 1
=
kk ,
0
=
=
=
k
j
k
i
j
i
.
17