Векторная алгебра. Конев В.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Направляющие косинусы
Рассмотрим некоторый единичный вектор u и обозначим через
γ
β
α
и, углы, образованные этим вектором с осями прямоугольной
системы координат. Тогда
, αcos
β
cos и
γ
cos
называются
направляющими косинусами вектора u.
Теорема 1. Направляющие косинусы являются координатами единичного
вектора }
, заданного в прямоугольной системе координат.
,,{
zyx
uuu=u
Доказательство. Теорема непосредственно вытекает из определения
скалярного произведения. С одной стороны,
},,{
zyx
uuu=u и }0,0,1{
=
i
⇒
x
u=
⋅
iu
.
С другой стороны,
αα coscos||||
=
⋅
⋅
=
⋅
i
u
i
u .
Следовательно,
.
αu
x
cos=
Аналогично доказываются утверждения
β
cos=
y
u и
γ
cos
z
u
.
Теорема 2. . 1coscoscos
222
=++
γβα
Доказательство. По определению, длина единичного вектора равна 1:
1||
2222
=++=
zyx
uuuu .
Применяя Теорему 1, получаем требуемый результат.
В заключение заметим, что для произвольного ненулевого вектора
a
отношение
a
a
представляет собой единичный вектор и, следовательно,
a
a
x
=
α
cos ,
a
a
y
=
β
cos
,
a
a
z
=
γ
cos .
10. Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов },,{
zyx
aaa
=
a и ,
заданных в прямоугольной системе координат, представляет собой вектор,
определяемый формулой
},,{
zyx
bbb=b
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba =×
, (14)
где
i, j и k – ортонормированные базисные векторы.
Часто используется также обозначение векторного произведения в
виде
.
],[ ba
Разлагая определитель (14) по элементам первой строки, получаем
19

Страницы