Векторная алгебра. Конев В.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Векторы
В этом случае система (4) сводится к укороченной системе двух
однородных линейных уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
0
0
323222121
313212111
aaa
aaa
λλλ
λλλ
с тремя неизвестными
и .
21
, λλ
3
λ
Поскольку число неизвестных превышает число однородных
уравнений, то система имеет нетривиальное решение, что означает
линейную зависимость векторов.
Теперь предположим, что векторы
, и некомпланарны.
Тогда линейная комбинация
1
a
2
a
3
a
2211
aa λλ
+
представляет собой вектор,
лежащий в той же плоскости, что и векторы
и .
1
a
2
a
Поскольку вектор
не параллелен указанной плоскости, то вектор
не может быть обратным к вектору
3
a
)(
33
aλ−
2211
aa λλ
+
, а значит не
может быть представлен в виде линейной комбинации векторов
и .
3
a
1
a
2
a
Следовательно, некомпланарные векторы
, и образуют
множество линейно независимых векторов.
1
a
2
a
3
a
3)
В случае четырех векторов, уравнение
0
44332211
=
+
+
+ aaaa λλλλ
эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя
неизвестными
. Такая система имеет бесконечное
множество решений, что и доказывает линейную зависимость любого
набора из четырех векторов.
4321
и, λλλλ ,,
Теорема доказана.
Теперь можно вернуться к понятию базиса на более общем и строгом
уровне. Сам факт того, что добавление четвертого вектора к трем линейно
независимым векторам делает четверку векторов линейно зависимой,
приводит к следующему
важному заключению.
Произвольный вектор трехмерного пространства можно представить в
виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов.
Это фактически означает, что любые три некомпланарных вектора
, и образуют базис трехмерного пространства и произвольный
вектор
d может быть разложен по этому базису:
1
a
2
a
3
a
332211
aaad ddd
+
+
= . (5)
Величины
в разложении (5) называются координатами
вектора
d в базисе , , .
321
и, ddd
1
a
2
a
3
a
13

Страницы