Векторная алгебра. Конев В.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

11. Смешанное произведение векторов
Скалярное произведение и векторное произведение векторов можно
скомбинировать в
смешанное произведение вида
cbacba
⋅
×
=
)()],,([ .
Теорема. Смешанное произведение трех векторов ,
и , заданных в прямоугольной системе
координат, выражается формулой
}
}
,,{
zyx
aaa=a
},,{
zyx
bbb=b ,,{
zyx
ccc=c
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
=⋅× cba )(
. (15)
Доказательство. Умножим скалярно вектор
kjiba )()()(
xyyxxxxzyzzy
babababababa
−
+
−
+
−
=
×
на вектор
kjic
zyx
ccc
+
+
=
.
В результате получаем выражение,
zxyyxyxxxzxyzzy
cbabacbabacbabac( )()()()
−
+
−
+
−=⋅× ba ,
представляющее собой разложение определителя
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
по
элементам третьей строки.
Геометрическая интерпретация. Численное значение смешанного
произведения
cba ⋅
×
)(
совпадает (с точностью до знака) с объемом
параллелепипеда, построенного на векторах
. cba и,
Доказательство. Объем параллелепипеда равен произведению площади
основания на высоту. Согласно теореме о скалярном произведении
векторов,
23

Страницы