Векторная алгебра. Конев В.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
cos||||)( cbacba
⋅
×
=
⋅
× .
Величина
равна площади параллелограмма, а произведение
|| ba×
ϕ
cos|| c
равно высоте параллелепипеда.
Следствие 1. Если три вектора компланарны, то их смешанное
произведение равно нулю.
Следствие 2. Точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, если смешанное
произведение
равно нулю.
→→→
× ADACAB )(
11.1. Свойства смешанного произведения векторов
Свойство 1.
Согласно свойству скалярного произведения,
acbcba ⋅×
=
×
⋅
)()(
.
Однако
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
aaa
ccc
bbb
ccc
bbb
aaa
=
.
Следовательно,
cbacba
⋅
×
=
×
⋅
)()(
.
Заметим, что порядок следования точки скалярного произведения и
креста векторного произведения оказывается несущественным. Поэтому
представляется разумным опустить эти символы в выражении для
смешанного произведения
)( cba
×
⋅
и просто записывать его в виде abc.
Свойство 2. Преобразуем смешанное произведение, опираясь на свойства
определителей:
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
aaa
ccc
bbb
bbb
aaa
ccc
ccc
bbb
aaa
===abc
.
Таким образом,
abc = cab = bca.
Свойство 3. Аналогично,
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
bbb
ccc
aaa
ccc
aaa
bbb
ccc
bbb
aaa
−=−==abc
и поэтому
abc = – bac = – acb.
24

Страницы