Векторная алгебра. Конев В.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Свойство 4. Теорема о линейной зависимости векторов устанавливает, что
любые три линейно зависимые векторы являются компланарными.
Следовательно:
Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю, если и
только если векторы являются линейно зависимыми.
11.2. Примеры
1) Показать, что точки )2,2,1(
−
A
, )4,3,3(
B
, )10,2,2(
−
C и
лежат в одной плоскости.
)2,2,0(D
Решение. Проведем из точки A векторы в оставшиеся три точки:
}2,1,4{==
→
ABa
, , и .
}8,4,3{==
→
ACb }0,0,1{==
→
ADc
Вычислим смешанное произведение полученных векторов:
0
84
21
001
843
214
===
abc .
Таким образом, векторы
→
A
B ,
→
AC
и
→
A
D лежат в одной плоскости, что
доказывает утверждение.
2)
Найти объем V тетраэдра с вершинами в точках )2,0,1(
A
, )4,1,3( −
B
,
и .
)2,5,1(
C )4,4,4(D
Решение. Объем тетраэдра составляет 1/6 часть объема параллелепипеда,
построенного на векторах
.
→→→
ADACAB и,
Объем
параллелепипеда численно равен (по абсолютной
величине) смешанному произведению векторов
.
p
V
→→→
ADACAB и,
Учитывая, что
}2,1,2{ −=
→
AB
, , и ,
}0,5,0{=
→
AC }2,4,3{=
→
AD
получаем
10
43
22
5
243
050
212
==
−
==
→→→
ADACABV
p
.
Таким образом,
3
5
6
10
6
1
===
p
VV .
25

Страницы